GEOMETRÍA PLANA: ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS
1. CONCEPTOS BÁSICOS
Punto, carece de dimensiones. No tiene longitud, anchura ni espesor
Línea, tiene una dimensión y es la longitud. Hay diferentes tipos de líneas: la recta, la curva, la mixta y la quebrada
Plano, tiene dos dimensiones y son la longitud y el ancho
Un segmento de recta es la distancia que existe entre dos puntos sin cambiar su dirección.
El punto medio tiene la característica de dividir a un segmento de recta en dos partes iguales, es decir, de la misma longitud. los segmentos de recta pueden nombrarse con dos letras mayúsculas colocando sobre de ellas una recta
2. ÁNGULOS
Un ángulo es la porción de plano limitada por dos semirrectas o rayos que tienen el mismo
origen.
Los lados del ángulo son las semirrectas que lo forman.
El vértice del ángulo es el punto común que es origen de los lados.
Los ángulos pueden nombrarse de tres formas distintas:
• Por las letras mayúsculas correspondientes a las semirrectas, colocando en medio la letra vértice
• Por una letra o número colocado en la abertura x
• Por la letra del vértice B
Un ángulo completo es el que está delimitado por dos semirrectas que coinciden.
La bisectriz de una ángulo es la semirrecta que divide al ángulo en dos partes iguales.
La mediatriz de un segmento de recta es el segmento perpendicular a él y que pasa por el punto medio de este
Clasificación de los ángulos:
Llano, es el ángulo formado por dos semirrectas opuestas.
Tiene sus lados en la misma recta. Su amplitud es la mitad de un ángulo completo, es decir, de 180º.
Ángulo Recto, es uno cualquiera de los ángulos en que la bisectriz divide al llano. Su amplitud o abertura es de 90º.
Agudo, es todo ángulo cuya amplitud sea menor que la del recto, es decir, es como máximo de 90º.
Obtuso, es aquel cuya amplitud es mayor que la del ángulo recto y menor que la del llano, es
decir, está comprendida entre 90º y 180º.
Cóncavo, es el que vale más que un llano pero menor de 360º
Convexo, es el que vale menos que un llano. Por ello se dice que los ángulos convexos
comprenden a los agudos, rectos y obtusos.
Ángulos suplementarios, son los que sumados valen 180º, es decir, un ángulo llano.
Cada ángulo se llama suplemento del otro. Así el ángulo es el suplemento del ángulo y
viceversa.
Ángulos complementarios, son los que sumados valen 90º, es decir, un ángulo recto.
Ángulos adyacentes, son los que tienen un mismo vértice y un lado común
Ángulos opuestos por el vértice, son los ángulos en que los lados del uno son
prolongaciones opuestas de los lados del otro.
También se dice que son aquellos cuyos lados son semirrectas opuestas.
El instrumento para medir un ángulo en grados sexagesimales se denomina transportador
y es un medio círculo graduado con doble escala, una de 0º a 180º y la otra de 180º a 0º.
Para medir un ángulo, se coloca el punto central del transportador sobre el vértice del ángulo y
uno de los lados debe coincidir con la línea del cero.
Ángulo inscrito: Es aquel cuyo vértice está sobre la circunferencia y cuyos lados son secantes.
La amplitud de un ángulo inscrito equivale a la mitad de la amplitud del arco que abarca.
Características de los ángulos inscritos:
* Dos ángulos inscritos en cada uno de los arcos que una cuerda determina son suplementarios.
* Todos los ángulos inscritos que abarcan un mismo arco son iguales.
* En una misma circunferencia, los arcos cortados por paralelas son iguales.
* Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.
Angulo semiinscrito: Es aquel cuyo vértice está sobre la circunferencia, uno de sus lados es
tangente y el otro, secante. Al igual que en el inscrito, su amplitud equivale a la mitad de la
amplitud del arco que abarca.
Ángulo interior: es aquel cuyo vértice está en el interior de la circunferencia. La amplitud de un ángulo interior equivale a la semisuma de los arcos que abarca éste, y su opuesto por el vértice.
Angulo exterior es aquel cuyo vértice es exterior a la circunferencia y sus lados, secantes. La
amplitud de un ángulo exterior equivale a la semidiferencia de la amplitudes de los arcos
abarcados por él.
Angulo central es aquel que su vértice está en el centro de la circunferencia. Por definición, su amplitud coincide con el arco que abarca.
3. El Triángulo:
Es una superficie plana limitada por tres rectas que se cortan dos a dos.
Características:
• Todo triángulo consta de 3 vértices que son las intersecciones de las rectas.
• Los segmentos que unen los vértices se llaman lados del triángulo.
• Los lados del triángulo forman tres ángulos que se llaman ángulos internos del triángulo.
• En todo triángulo los ángulos internos suman 180º.
• En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos lados y mayor que su
diferencia.
Altura de un Triángulo: La altura de un triángulo es el segmento de recta perpendicular que va desde un vértice al lado opuesto o a la prolongación de éste.
Se llama base del triángulo al lado sobre el que se apoya.
Mediana de un Triángulo: La mediana de un triángulo es el segmento de recta trazado desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto del vértice
Clasificación de los triángulos
En relación a los lados:
Equilátero, el que tiene los tres lados iguales
Isósceles, el que tiene dos lados iguales y el otro desigual
Escaleno, el que tiene los tres lados desiguales.
En relación a sus ángulos:
Acutángulo, el que tiene todos sus ángulos agudos, es decir, menores de 90º
Obtusángulo, el que tiene algún ángulo obtuso, es decir mayor a 90º
Rectángulo, el que tiene un ángulo recto, es decir, un ángulo que mide 90º. Los dos
lados que forman el ángulo recto se llaman catetos y el otro hipotenusa.
Área de un Triángulo:
El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de la longitud de la base por la
altura relativa a dicha base.
Baricentro
Es el punto de intersección de las medianas de un triángulo, entendiendo por mediana la recta
que parte de un vértice para ir al punto medio del lado opuesto.
Circuncentro
Es el punto de intersección de las mediatrices de un triángulo, entendiendo por mediatriz la
recta que es perpendicular al lado en su punto medio.
Ortocentro
Es el punto de intersección de las alturas de un triángulo, entendiéndose por altura la recta que
parte de un vértice para ser perpendicular al lado opuesto.
Incentro
Es el punto de intersección de las bisectrices interiores de un triángulo, entendiendo por
bisectriz la recta que parte de un vértice y divide el ángulo en dos partes iguales.
Cuando un triángulo es equilátero, los cuatro puntos notables, baricentro, circuncentro,
ortocentro e incentro, se confunden en un mismo punto.